The impossible chessboard puzzle_AVS-【官方双语】不可能的棋盘谜题

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• 3Blue1Brown:64格棋盘问题的解法，精简版： 首先定义非负整数a、b的异或运算a⊕b为不带任何进位的二进制加法。 例如：6⊕13，也即二进制里的110⊕1101，二进制个位是0+1=1，二位是1+0=1，四位是1+1=(1)0，不进位 只保留一个0，八位是0+1=1，所以结果是二进制的1011，也即6⊕13=11。 异或的性质有： 1. 交换律：a⊕b=b⊕a 2. 结合律：a⊕(b⊕c)=(a⊕b)⊕c 3. 单位元：a⊕0=0⊕a=a 4. 加即为减：a⊕a=0 5. 对2的幂封闭：假设存在非负整数n使得a,b<2^n，那么有a⊕b<2^n。 证明及其他具体细节请参考百度等。 给64个棋盘格标号为0、1、……、63。假设在某一时刻棋盘上任意摆满了硬币，那么从这个硬币的排列里挑出所有 正面朝上的硬币，把所有这些硬币的序号取异或运算，然后可以把棋盘上的这一种硬币排列对应到序号为这个运 算结果的棋盘格上，如果没有硬币朝上则取0号棋盘格。当1号囚犯进入时，会见到对应某a号方格的硬币排列， 和藏在某x号方格下的钥匙。此时，1号囚犯翻转a⊕x号方格上的硬币。 例如：1号囚犯见到3、14、15号硬币正面朝上，此时对应a=3⊕14⊕15=2。如果钥匙藏在x=9号格下，那么1号 囚犯选择翻转a⊕x=2⊕9=11号硬币。2号囚犯进入，见到3、11、14、15号硬币正面朝上，会计算x=3⊕11⊕14⊕ 15=9。 接下来分析这个策略为什么会成功：由以上性质5，1号囚犯永远有硬币可以翻。 1. 如果这个硬币a⊕x本来正面朝下，那么翻转之后的硬币排列对应的结果是a⊕(a⊕x)，这其中a是本来所有 硬币的运算结果，而(a⊕x)是新多出来的一项。由于上述性质2到4，a⊕(a⊕x)=x，那么2号囚犯顺利得到钥匙 x。 2. 如果这个硬币a⊕x本来正面朝上，那么翻转之后本来的运算结果仍然是a，但是少了(a⊕x)这一项。由于性 质4，从a中“减去”(a⊕x)等同于向a中“加上”(a⊕x)，因此得到的结果仍然是a⊕(a⊕x)=x，2号囚犯顺利得 到钥匙x。
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